Discussion:Coordonnées barycentriques

Questions de cohérence

le § sur les coordonnées barycentriques dans le triangle est particulièrement incompréhensible,, même après mes 3 corrections. On sait dejà qu'il s'agit d'un point P qui n'est pas sur un des côtés, allez savoir pourquoi. Mais.... S'agit-il d'un point P à l'intérieur du triangle? Si le point P peut être situé à l'extérieur du triangle, il y a au moins une coord bary qui est négative, donc au moins une des 4 aires mises en jeu négative. Mais où parle-t-on à nos braves lecteurs de le notion d'aire négative dans un espace affine? si on suit le lien du résumé introductif , géométrie affine, on ne parvient pas par un chemin de surf facile de lien en lien à l'aire dans un espace affine ou un plan affine.

Sans envisager le signe de l'aire, où parle-ton d'aire dans un espace affine ou un plan affine? Nulle part à mon avis, puisque ce concept ne peut exister que dans un espace ou un plan affine métrique. Maintenant voyons s'il y a des liens avec ces sortes d'espaces.

L'article Espace métrique a l'air très savant, il introduit bien la DISTANCE entre 2 points mais il n'y est pas question d'AIRE. Pourquoi? je l'ignore. à approfondir. message laissé par user:Michelbailly le 6 avril 2011.

L'article est manifestement incomplet et tu as raison de souligner le manque de liens ou d'explications pour l'interprétation en termes d'aire. Ceci dit les rapports d'aires (signées dans le cas des réels) de parallélogramme ou de triangle se définissent bien en géométrie affine (par le déterminant), pas besoin de métrique. On parle d'aire algébrique. Proz (d) 6 avril 2011 à 20:53 (CEST)

Très drôle le déterminant. Est-ce qu'il s'agit de nombres réels en géométrie affine?-Michelbailly (d) 8 avril 2011 à 22:44 (CEST)

Ecoute Proz, de 2 choses l'une, soit tu fais tout pour tromper les lecteurs sur des articles de géométrie et sur celui-ci en particulier, soit tu as atteint ton maximum de compétence. Cet article écrit en toutes lettres qu'il se situe dans un espace affine, plus loin il écrit que ces coordonnées barycentriques normalisées s'interprètent comme des rapports d'aires de la façon suivante :

${\begin{cases}\alpha _{1}={\frac {Aire(BPC)}{Aire(ABC)}}\\\alpha _{2}={\frac {Aire(APC)}{Aire(ABC)}}\\\alpha _{3}={\frac {Aire(BPA)}{Aire(ABC)}}\end{cases}}$

J'ai fait remarquer ci-dessus qu'il y a une incohérence à corriger puisque ce concept d'aire ne peut exister que dans un espace ou un plan affine métrique. J'ai fini par trouver sur certaines pages (-Aire d'un triangle et Déterminant (mathématiques)-) que certains contributeurs ont bien parlé de la notion d'aire d'un triangle dans un plan euclidien, ce qui est parfaitement juste, (donc métrique), je cite:

Aire d'un triangle Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets. Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par $A(x_{A},y_{A})$, $B(x_{B},y_{B})$ et $C(x_{C},y_{C})$, alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant

$S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}&x_{C}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{C}-y_{A}\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})|.$

L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer à partir de la formule

$S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.$

etc... et:

Déterminant (mathématiques)

Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien

Fig. 1. Le déterminant est l'aire bleue orientée.

Soit P le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs $X$ et $X'$ est donné par l'expression analytique

$\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'$

ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique

$\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \sin \theta$

dans laquelle $\theta$ est l'angle orienté formé par les vecteurs $X$ et $X'$.

Propriétés

• La valeur absolue du déterminant est égale à l'aire du parallélogramme défini par $X$ et $X'$ ($X'\sin \theta$ est en effet la hauteur du parallélogramme, d'où Aire = Base × Hauteur).
• Le déterminant est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme devient une ligne).

En effet cette annulation apparaît comme un simple test de proportionnalité des composantes des vecteurs par produit en croix.

• Son signe est strictement positif si et seulement si la mesure de l'angle $(X,X')$ est comprise dans l'intervalle $]0,\pi [$.

etc...

Qu'est-ce que tu trouves à répondre d'un ton docte ? cette énormité: Ceci dit les rapports d'aires (signées dans le cas des réels) de parallélogramme ou de triangle se définissent bien en géométrie affine (par le déterminant), pas besoin de métrique. On parle d'aire algébrique. Proz (d) 6 avril 2011. Mais, en supposant que tu fais bien allusion aux déterminants exposés dans les articles -Aire d'un triangle et Déterminant (mathématiques)- en question, ce déterminant ne représente l'aire signée d'un triangle que si les coordonnées des sommets sont exprimées dans un repère orthonormal -voir Base orthonormale (Redirigé depuis Repère orthonormal), donc dans un espace ou un plan métrique.

Quand je pense que c'est une "personne", peut-être un enseignant(?) l'utilisateur:Proz, qui croit doctement pouvoir faire l'économie de la métrique pour parler d'aire d'un triangle, que c'est cette "personne" incontrolée, l'utilisateur:Proz, qui efface systématiquement toutes mes contributions -1 exemple pourtant justifié dans d'autres langues: "ht tp://en.wikipedia.org/wiki/Desargues%27_theorem et ht tp://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Desargues", [[1]] et [[2]]- et me cherche querelle sur les pages de discussion depuis le 5 mars 2011, je suis mort de rire mais écoeuré de contribuer à WP Michelbailly (d) 10 avril 2011 à 22:24 (CEST)

Proz n'est pas le seul à « croire doctement (sic) » que l'aire algébrique (via le déterminant) est un objet de la géométrie affine en dimension 2 voir [3], [4], [5], extraits de la commission Kahane, Géométries élémentaires (tome 1) par Henri Lombardi (chap 2, (e)) Cette allusion au quotient des aires algébriques pour les coordonnées barycentriques est assez classique, elle nécessite peut-être d'être un peu plus explicitée car il est effectivement déstabilisant de voir l'aire, normalement objet de la géométrie métrique, issue de la notion de distance et d'angle devenir un semi-invaraint de la géométrie affine. HB (d) 11 avril 2011 à 10:37 (CEST)

Aire algébrique : ça doit être dans tous les bouquins niveau licence prepa capes, et c'est assez clair une fois qu'on pense au déterminant. Ca permet par exemple de comprendre le caractère affine de certaines démonstrations d'Euclide (Thalès ...). Ca n'est pas plus étonnant qu'un autre invariant affine, le rapport de mesures algébriques (sur une droite), et on peut continuer en dim 3 ... Il faudrait sans nul doute expliquer (je passe mon tour).

Je préfère préciser, même si HB le souligne ailleurs, que je trouve le ton insultant de Michelbailly particulièrement inapproprié. En l'occurrence il a tort, et il n'a pris aucun soin de vérifier ces propos, mais c'est un autre problème. Proz (d) 12 avril 2011 à 01:46 (CEST)

Je préfère préciser que ça m'ennuie vraiment que les pseudonymes "HB" et "Proz" s'attaquent comme cela à quelqu'un qui avait choisi dès 2005 de s'inscriree avec un vrai nom. Ils donnent l'impression de ne pas attaquer mais de se défendre, c'est trompeur et cela reste salissant. C'est la raison pour laquelle je préfère employer dorénavant un pseudo si je veux répondre à ce type de provocation. Tout de même HB tu pourrais vérifier le contenu des 5 réf que tu donnes. L'utilisateur écoeuréMichelbailly (d) 12 avril 2011 à 11:22 (CEST)

Précision peut-être utile à qui tombe sur cette page de discussion : j'ai depuis (décembre 2011) complété l'article en donnant la définition des rapports d'aire algébrique en géométrie affine (avec une source d'ailleurs différente de celles citées par HB mais bien-sûr concordante, ce sont des math.). Proz (d) 30 mars 2012 à 09:03 (CEST)